Les calculs de Coulomb sur la distribution de l'électricité à la surface des conducteurs
Par Christine Blondel et Bertrand Wolff
Dans ses deux derniers mémoires sur l'électricité, les 5ème et 6ème,
Coulomb effectue une série d'expériences, à l'aide de sa balance électrique, pour mesurer
la distribution de l'électricité à la surface de divers conducteurs en contact. Les résultats
numériques de ces expériences sont ensuite systématiquement confrontés au calcul [Voir la
page Les conséquences de la loi de l'électricité
pour les conducteurs en équilibre électrique]
Le physicien Edmond Bauer
évoque au sujet de ces mémoires
"la précision des mesures de densité électrique (à l'aide du plan d'épreuve et de la balance) et
la maîtrise des calculs théoriques fondés uniquement sur la loi des attractions et répulsions
et l'hypothèse de la mobilité des charges dans les conducteurs".
La précision des mesures est en effet étonnante. En revanche, pour le lecteur non familier
de la physique du XVIIIe siècle, la compréhension des raisonnements de Coulomb est
loin d'être immédiate car il ne s'appuie pas uniquement sur la loi des attractions
et répulsions et il n'explicite pas ses présupposés, ni certaines démonstrations. Ces
mémoires n'ont d'ailleurs pas été étudiés en détail par les historiens.
Tout d'abord ses calculs supposent la mobilité de l'électricité dans un conducteur et le fait
que l'électricité ne pénètre pas les conducteurs en équilibre électrique et reste à
leur surface (4ème Mémoire).
Par ailleurs, il ne part pas de la loi fondamentale en 1/d2, mais utilise des
théorèmes dérivant de cette loi..
Enfin il utilise diverses approximations, faute de disposer des outils mathématiques que
développera Poisson dans les années 1810 [Voir la page
De l'électricité « en + ou en − » de Franklin aux lois de l'électricité]. Ces approximations, dont certaines
restent implicites, peuvent parfois paraître surprenantes.
Nous nous proposons d'éclairer deux de ces calculs qui donnent un aperçu des méthodes de
Coulomb, et de les traduire dans le langage de l'électrostatique moderne. Les extraits du
texte de Coulomb sont commentés au fur et à mesure.
Premier exemple : la répartition de l'électricité entre trois sphères en contact
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Le premier exemple abordé par Coulomb
[Voir 1er extrait du 5ème Mémoire] est typique
des raisonnements qu'il va mettre en œuvre tout au long des deux mémoires.
Il s'agit de déterminer la répartition des charges entre trois globes
conducteurs (C), (c) et (C') en contact, selon la disposition illustrée
ci-contre, l'ensemble étant supposé isolé.
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Par raison de symétrie, écrit Coulomb, (C) et (C') "contiendront tous les deux une égale
quantité de fluide électrique : ce fluide [...] sera inégalement répandu sur la surface
du système des trois corps ; il sera comprimé vers les points de la surface qui
avoisinent A et A', et nul vers les points de contact B et B' "
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Comprimé vers les points A et A' : les mesures
précédentes, dans le cas de deux globes en contact, ont montré que la
densité électrique s'annule au point de contact et qu'elle est maximale
aux points les plus éloignés. Le caractère non uniforme de la distribution
de l'électricité ne fait donc aucun doute.
Des approximations audacieuses :
Il s'agit pour Coulomb de déterminer non le détail de cette distribution mais
seulement la façon dont la charge totale se divise entre les trois globes. Dans ce
but il fait une approximation audacieuse, en contradiction avec sa
première remarque :
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"Supposons que le fluide soit uniformément répandu sur la surface de ces globes, et
qu'il ne puisse s'échapper que par le point de contact [B par exemple] ; il
devra, dans cette supposition, y avoir un rapport entre la densité des globes [(C), (C')
et (c)], tel qu'il y ait équilibre entre l'action du fluide électrique du globe C sur le
point de contact [B] et [celle du fluide] des deux autres globes dans la direction opposée".
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Ne puisse s'échapper que par le point de contact : l'air et les supports
étant supposés parfaitement isolants, la charge électrique d'un globe ne peut
être transférée que par contact avec le globe voisin.
Il devra y avoir un rapport [entre les densités...] tel qu'il y ait
équilibre : par "densité des globes", nous devons comprendre la
valeur moyenne, pour chacun de ces globes, de la densité surfacique de
charge.
"Equilibre" : si les charges sont en équilibre sur les globes,
les forces qu'elles subissent se compensent.
Equilibre des actions sur le point de contact : c'est la clé du calcul qui
va suivre. Lorsque Coulomb parle des "actions" sur un "point" tel que B,
il nous faut traduire : actions électriques subies par la
couche électrisée infinitésimale commune aux sphères (C) et (c) en B.
Rappelons cependant que l'expérience indique, contrairement au modèle
provisoire sur lequel on raisonne ici, une densité électrique nulle en B !
Mais surtout, qu'entend Coulomb par "actions" ?
Qu'est-ce que les "actions électriques" ?
Comment les calculer ?
Nous pouvons comprendre ce qu'entend Coulomb par "actions électriques",
notion dont il ne donne pas de définition, à partir des expressions qu'il en
propose aussitôt. Nommant D et δ les densités électriques respectives
des globes (C) et (c), R et r leurs rayons, Coulomb affirme de but en blanc :
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- L'action de (C) sur "le point" B placé à sa surface "sera égale à D"
- "L'action contraire" de (C') sur le même point, "qui est éloigné de sa surface de la
quantité 2r, sera égale à 2DR2/(R+2r)2 "
- Celle de (c) sur B, "qui est à sa surface, sera égale à δ ". Elle est également de
sens opposé à celle de (C).
D'où la formule traduisant l'équilibre D = δ+ 2DR2/(R+2r)2
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L'équilibre : Les sphères portent toutes trois des charges de même signe.
Toute charge située au point B, subit donc une action répulsive dirigée vers
la droite de la part de toutes les autres charges de (C), et des
"actions contraires ", dirigées vers la gauche, de la part des deux
autres globes. Puisque l'électricité est en équilibre au point B, ces
actions doivent se compenser.
Les actions et leurs expressions mathématiques : dans son
2ème Mémoire, Coulomb avait étendu à l'électricité un théorème
de Newton, bien connu pour la gravitation :
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"Quand tous les points d'une surface sphérique agissent par une force
[électrique] attractive ou répulsive en raison inverse du carré des distances sur un
point placé à une distance quelconque de cette surface, on sait que l'action est la même
que si toute la surface sphérique était concentrée au centre de la sphère" .
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Il sait bien que ceci n'est vrai que pour une répartition uniforme
de l'électricité, mais c'est précisément la supposition qu'il vient de faire
dans son approximation. On peut d'ailleurs penser que c'est pour pouvoir
appliquer ce théorème qu'il fait cette approximation, étonnante au premier abord.
Le point B est extérieur au globe (C') mais il appartient à la surface même des
globes (C) et (c). Puisque le théorème s'applique à un point extérieur
à la sphère agissante, intéressons-nous d'abord à l'expression donnée par
Coulomb pour l'action du globe (C'), bien que ce soit la moins simple des
trois.
Calcul moderne de la force exercée par la sphère (C') sur une charge placée au
point B :
D'après la "loi de Coulomb", telle qu'elle s'exprime aujourd'hui dans les
manuels scolaires, la force qui s'exerce entre deux charges Q et q ponctuelles,
situées à la distance d, est :
F = k Qq/d2 où k est un coefficient qui dépend du système d'unités.
La sphère (C') de rayon R, étant uniformément chargée avec une densité de charge D,
sa charge répartie sur la surface 4πR2 de la sphère,
est : Q = D 4πR2
Le point B est situé à la distance R + 2r du centre de (C').
La force F s'exerçant sur une charge q située au point B est
donc :
F = k D 4πR2 q / (R + 2r)2
On en déduit la valeur du champ électrique au point B : 4πk DR2
/ (R + 2r)2
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Dans son mémoire, Coulomb donne pour "l'action" exercée par (C') "au point B"
l'expression suivante :
2DR2 /(R+2r)2 .
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Si l'on compare cette expression de Coulomb avec les expressions modernes de la
force F et du champ E, il apparaît donc que "l' action électrique"
2DR2/(R+2r)2 de Coulomb n'est autre que le champ
électrique créé par (C') en B, au facteur de proportionnalité 2πk près.
Dans le mémoire suivant, Coulomb appellera "action électrique" non plus le
champ mais la force électrique. Il ne faut pas voir là une inconséquence.
Suivant l'usage de l'époque, Coulomb raisonne dans chaque cas au plus simple,
de manière proportionnelle. Mais cette définition fluctuante de
"l'action électrique" rend la lecture des mémoires de Coulomb difficile
pour un lecteur contemporain.
Un mystérieux facteur 2
Passons maintenant à ce que Coulomb appelle les actions de (C) et (c) sur leur
point de contact B. Ces actions sont celles d'une sphère électrisée sur un
élément appartenant à la sphère, et non sur une charge extérieure. Coulomb
n'explique pas comment il parvient à ses résultats apparemment
si simples : action = D ou δ.
Si l'action électrique désigne, en termes modernes, le champ, et si l'on
s'en tient à ce qu'écrit Coulomb, il s'agit de calculer le champ créé par
une couche sphérique uniforme en un de ses points. Or ce champ, en
toute rigueur, n'est pas défini. Il faut prendre quelques
précautions supplémentaires dans la traduction du raisonnement implicite
de Coulomb. Nous avons déjà précisé plus haut qu'il fallait entendre par
"actions sur le point B" les actions subies par une petite couche
électrisée infinitésimale, centrée sur B. Considérons alors le champ créé
en B par la couche sphérique moins une calotte sphérique élémentaire de
sommet B, que l'on peut rendre arbitrairement petite. Un calcul
simple d'intégration à partir de la loi de Coulomb conduit à un résultat
qui tend
- pour (C), vers E1 = 2πk D,
- et de même, pour (c) , vers E'1 = 2πk δ.
En omettant le facteur de proportionnalité 2πk, on retrouve bien les valeurs
de Coulomb : D et δ.
On a vu plus haut que le champ créé par une sphère de rayon R en un point
extérieur situé à distance 2r de sa surface était
E = 4πk DR2 / (R + 2r)2 , soit, si r tend vers zéro
E = 4πk D.
On obtient donc E = 2E1.
Le champ créé par une sphère, moins une calotte sphérique élémentaire de
sommet B, au point B appartenant à sa surface est la moitié de celui qu'elle
crée en un point extérieur infiniment voisin.
Ce résultat, qui est loin d'être intuitif, est en général démontré
aujourd'hui par un autre raisonnement. Il consiste à découper la sphère
en deux parties : une surface ΔS circulaire infiniment
petite, centrée sur le point B, et d'autre part "le reste de la sphère".
Un calcul d'intégration simple, présent dans tous les manuels
d'électrostatique, montre que le champ E2 en un point M
très voisin d'un disque plan ΔS uniformément électrisé, avec une
densité D, est
E2 = 2πk D.
Or le champ E créé par la sphère en M est la somme du champ E2
créé par l'élément ΔS et du champ E1 créé par le reste
de la sphère. En M et donc en B (BM est un infiniment petit du second ordre),
E1 = E - E2 = 2πk D.
C'est bien la valeur que donnait l'intégration directe sur l'ensemble de
la sphère.
Dans les exposés modernes d'électrostatique, le système
international d'unités impose k = 1/4πε0
- le champ électrique créé par une portion de surface de densité électrique
σ en un point M infiniment proche est E =
σ/2ε0. Cela correspond à la valeur D de
l'action électrique de Coulomb.
- le champ électrique E au voisinage immédiat d'un conducteur (C), c'est-à-dire
en un point extérieur M infiniment proche de la surface de (C), est
E = σ/ε0. qui correspond bien à la valeur 2D de
Coulomb. Ce résultat, établi ici pour un conducteur sphérique uniformément
chargé, peut être généralisé à tout conducteur, quelle que soit la
répartition des charges, σ étant alors la densité électrique de
la petite portion de surface voisine de M. Sous cette forme généralisée,
c'est ce que les traités d'électrostatique nomment "théorème de Coulomb"
bien que la démonstration qui en est donnée dérive en général d'un théorème
dû à Gauss. Coulomb en donne bien lui-même une démonstration, mais seulement,
comme on va le voir plus loin, à la fin du Mémoire suivant
(6ème).
Les résultats
du calcul
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Après cette longue discussion, il nous reste à voir quels sont les résultats
numériques obtenus par Coulomb à partir de l'équation D = δ +
2DR2/(R+2r)2 qui traduit l'équilibre électrique au point B.
Coulomb remarque d'abord que si le rapport r/R est inférieur à 1/5, cette équation
donne pour δ un signe opposé à celui de D. Or les trois sphères portent toujours
des charges de même signe. Cette contradiction résulte bien sûr de l'approximation
grossière faite au départ sur le caractère uniforme de la distribution électrique sur
les sphères. Coulomb montre alors qu'une correction tenant compte de la répartition
non uniforme de l'électricité sur les sphères conduit à un résultat proche de celui
de l'expérience.
Deuxième exemple : la distribution de l'électricité à la surface de deux sphères
inégales en contact
Au-delà du partage des quantités d'électricité entre conducteurs en contact, Coulomb a
l'ambition de retrouver par le calcul la façon dont la densité électrique varie d'un point à
un autre à la surface de chaque conducteur.
L'exemple suivant de deux sphères inégales en contact est tiré, comme le précédent, du
5ème Mémoire. [Voir
2ème extrait du 5ème Mémoire]
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Il s'agit de déterminer la variation de la densité électrique à la surface
du petit globe (C') de rayon r, en contact avec le globe (C) de rayon R,
en fonction de l'angle α. Pour cela, Coulomb imagine "un petit globule
(m)" mis en contact avec le globe (C') dans la position définie par
l'angle α. Le problème est de calculer la quantité d'électricité
dont se chargerait ce globule. Coulomb considère en effet implicitement
que la densité électrique acquise par (m) n'est autre que la densité
superficielle locale de (C') pour l'angle α. Comme précédemment,
il suppose dans un premier temps que les densités électriques sur chaque
sphère sont uniformes, bien que l'objectif soit de calculer la variation
de ces densités. Soit D la densité électrique moyenne de (C), D' celle de
(C'), et δ celle de (m).
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Le point de départ du raisonnement est toujours le même : la densité électrique du
globule (m) doit être telle que son point de contact avec (C'), ou plus exactement la surface
infiniment petite qui l'entoure, commune à (m) et à (C'), soit en équilibre électrique. Cette
surface est soumise :
- à l'action électrique de (C'), dirigée suivant (C'm) et de valeur D'.
- à l'action électrique du globule, dirigée suivant (C'm) et de valeur δ
- à l'action électrique de (C).
Coulomb ne prend en considération pour cette dernière, sans le justifier, que la composante
dirigée suivant C'm. L'action de (C) a pour valeur 2D R2/Cm2, et
sa projection sur la direction Cm a une expression complexe, fonction de R, r et cos
α, que nous noterons 2D.f(R,r,α).
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Or l'action de (C) a une composante selon la tangente en m à (C') qui
n'est compensée par aucune autre action, et qui devrait donc faire fuir la
couche électrisée considérée le long de la surface de (C')! Bien que Coulomb
ne semble pas s'en préoccuper, son raisonnement implicite est probablement que
la seule considération des actions selon (Cm) suffit à déterminer la
distribution sur (C'). En retour cette distribution non uniforme sur(C')
crée une composante tangentielle en m, qui doit équilibrer la
composante tangentielle due à (C).
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L'équilibre s'écrit alors : D' = δ + 2D.f(R,r,α).
Cette équation donne la valeur de δ en fonction de D et D'.
Comparer δ, pour diverses valeurs de l'angle α, aux densités D et D',
nécessite de connaître d'abord le rapport entre ces deux dernières, soit par l'expérience,
soit par le calcul. Aussi Coulomb commence-t-il par le cas où les deux globes
sont égaux : D et D' sont alors égales. En considérant des angles de 30, 60,
90 et 180°, angles pour lesquels il avait effectué ses mesures à l'aide du plan d'épreuve,
les valeurs obtenues pour δ/D lui permettent d'affirmer : "on trouve ici
une conformité entre les résultats de l'expérience et ceux de la théorie, qu'on pouvait à
peine espérer." De fait, les écarts entre ses résultats de calcul et ses
résultats expérimentaux se trouvent compris entre 2% et 7%, ce qui en électrostatique
constitue une précision remarquable. Dans le cas général de globes (C) et (C') inégaux,
les résultats expérimentaux de Coulomb se trouvent, pour plusieurs cas particuliers,
plus proches des valeurs exactes calculées ultérieurement par Poisson que de ses
propres calculs d'approximation !
Coulomb démontre... le "théorème de Coulomb"
Dans les deux exemples que nous avons présentés Coulomb considère, sans en donner
de démonstration, qu'une sphère conductrice électrisée exerce sur une charge extérieure
située à son voisinage immédiat une action 2D, double de celle exercée sur un
"point" appartenant à la surface elle-même. A condition de définir plus rigoureusement
que ne le fait Coulomb lui-même la notion d'action de la sphère sur l'un de ses points,
on a vu que cette propriété pouvait se déduire de la loi en 1/d2 par
des raisonnements newtoniens bien connus de Coulomb et de son public, au point qu'il
se dispense de les expliciter.
Dans le 6ème Mémoire, où les "actions électriques" sont écrites cette fois
sous la forme 4πD et 2πD, il généralise cette propriété. Au milieu de la
présentation d'une théorie (fausse...) du plan d'épreuve, il démontre en passant --
et en quelques lignes --, que l'action d'un corps "de figure quelconque" sur
un point infiniment voisin est, comme pour une sphère, 4πD, où D est la densité au
voisinage du point. C'est le "théorème de Coulomb" qui, en termes modernes et en
adoptant le système international d'unités, exprime que le champ E en un point
infiniment voisin de la surface d'un conducteur quelconque, où la densité électrique
est σ, a pour valeur σ/ε0.
Pour en savoir plus
COULOMB, Charles-Augustin. Mémoires publiés dans les ouvrages de l'Académie des sciences
Mémoires de Coulomb, dans Collection de Mémoires
relatifs à la physique, publiés par la Société Française de Physique, t. 1,
Paris : Gauthier-Villars. 1884.
[Lire sur le CNUM ou
Voir le PDF]
COULOMB, Charles-Augustin. Mémoires sur l'électricité et le magnétisme, Paris, s.d. [après 1793]. [Lire sur Internet Archive]
GILLMOR, Stewart. Coulomb and the
Evolution of Physics and Engineering in Eighteenth-Century France, Princeton:
Princeton University Press, 1971.
Une bibliographie de "sources secondaires" sur l'histoire de l'électricité.
Mise en ligne : janvier 2008 (dernière révision :
septembre 2011)
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