Les systèmes d'unités électriques et leur unification
Par Gérard Borvon et Christine Blondel
"Le système absolu [des trois unités mécaniques] pouvait être considéré comme incontournable tant que l'on pouvait espérer déduire l'électricité de la mécanique. Ce temps est révolu."
Arnold Sommerfeld (1935)
Le système CGS (centimètre, gramme, seconde) adopté par la British Association en 1873, puis par les premiers congrès internationaux d'électricité, repose sur le choix de trois grandeurs dites fondamentales : longueur, masse et temps. Ces trois grandeurs permettent en effet d'exprimer toutes les grandeurs de la mécanique.
Il est possible d'exprimer également les grandeurs électriques en fonction des grandeurs de la mécanique, et donc dans les unités du système CGS. Mais suivant la relation choisie pour relier l'électricité à la mécanique (loi de Coulomb, loi d'Ampère ou autre loi), on obtient des systèmes différents. Deux systèmes CGS distincts ont été utilisés pour l'électricité depuis les années 1860.
Le système CGS électrostatique
Ce système s'appuie sur la loi de Coulomb qui exprime la force F s'exerçant entre deux charges q et q' situées à une distance r, dans le vide :
F = A qq'/r2
Le système électrostatique est défini par le choix d'une constante de proportionnalité A sans dimension et de valeur 1.
Loi de Coulomb dans le système électrostatique : F = qq'/r2
La relation fondamentale de la dynamique permet d'exprimer la dimension de la force en fonction des dimensions des grandeurs fondamentales de la mécanique :
[F] = M L T-2
On trouve alors, à partir de la loi de Coulomb, la dimension de la charge électrique [Qes] dans ce système :
[Qes] = L3/2 M1/2 T-1
Le système CGS électromagnétique
Ce système s'appuie sur la loi de force d'Ampère (loi de Laplace + loi de Biot et Savart) entre deux éléments de courant (ou, de manière équivalente, sur la force de Coulomb entre deux pôles magnétiques). Prenons le cas particulier où les deux éléments de courants dl et dl' sont parallèles et perpendiculaires à la ligne qui joint leurs centres. Si ces éléments sont placés à la distance r et sont parcourus par des courants d'intensité I et I', la force qui s'exerce entre eux est :
F = k II' dldl’/r2
Le système électromagnétique est défini par le choix d'une constante de proportionnalité k sans dimension et de valeur 1. On obtient le même système en prenant la loi de Coulomb pour le magnétisme (F = k μμ'/r2 ).
Loi d'Ampère dans le système électromagnétique : F = II' dldl’/r2
L'intensité I étant le quotient d'une charge par un temps, on obtient à partir de la loi d'Ampère la dimension de la charge électrique [Qem] dans le système CGS électromagnétique :
[Qem] = M1/2 L1/2
La charge électrique n'a donc pas même dimension dans le système électromagnétique ou dans le système électrostatique.
Comparaison des dimensions des grandeurs électriques dans les deux systèmes
La dimension de la charge étant connue, il est possible de déterminer les dimensions des autres grandeurs électriques dans chaque système grâce à l'expression de la puissance P = UI (la puissance ayant par ailleurs en mécanique la dimension d'une force multipliée par une vitesse) et à la loi U = RI.
Les résultats obtenus sont donnés dans le tableau suivant :
|
Grandeur |
|
CGS électrostatique |
CGS électromagnétique |
|
Longueur |
L |
L |
L |
|
Temps |
T |
T |
T |
|
Masse |
M |
M |
M |
|
Charge électrique |
Q |
M1/2 L3/2 T-1 |
M1/2 L1/2 |
|
Intensité |
I |
M1/2 L3/2 T-2 |
M1/2 L1/2 T-1 |
|
Tension |
U |
M1/2 L1/2 T-1 |
M1/2 L3/2 T-2 |
|
Résistance |
R |
L-1 T |
L T-1 |
Les grandeurs électriques ont des dimensions différentes, et assez complexes, dans chaque système. Ainsi la résistance a la dimension d'une vitesse dans le système électromagnétique et la dimension de l'inverse d'une vitesse dans le système électrostatique. Les deux systèmes sont donc incompatibles et impliquent des conversions pénibles lorsque l'on passe de l'un à l'autre.
Une vitesse relie les deux systèmes
D'après le tableau ci-dessus, le rapport entre la dimension de la charge [Qes] dans le système électrostatique et la dimension de la charge [Qem] dans le système électromagnétique est :
[Qes] / [Qem] = L T-1. C'est la dimension d'une vitesse.
Le rapport entre les deux unités de charge fut déterminé expérimentalement par Weber et Kohlrausch en 1856. Leur méthode consiste à mesurer une même quantité d'électricité - la charge d'une bouteille de Leyde (un condensateur) - d'abord en unités électrostatiques, puis en unités électromagnétiques. Les expériences de Weber et Kohlrausch ont donné un rapport Qes /Qem égal à 3,1074.1010 cm/s soit 310 740 km/s. Une tout autre méthode, utilisée par Maxwell en 1868, donne un rapport de 2,88. 105 km/s.
Pour en savoir plus sur les différentes méthodes de mesure de ce rapport on pourra consulter le traité de Maxwell, p. 468-484. [Voir le PDF]
La vitesse mesurant le rapport des unités de charge se trouvait ainsi étonnamment proche de celle de la lumière, déterminée avec précision au milieu du siècle par Hippolyte Fizeau avec une roue dentée tournant à grande vitesse : 315 300 km/s.
Une telle proximité entre la valeur du quotient Qes/Qem et celle de la vitesse de la lumière a frappé les physiciens, en particulier Maxwell qui étudiait alors les relations entre la propagation de la lumière et la propagation des effets électromagnétiques.
Dans la théorie électromagnétique de Maxwell, les interactions électromagnétiques ne se transmettent pas par des actions à distance, comme la force de Coulomb ou la force d'Ampère, mais par des actions de proche en proche. Les champs électriques et magnétiques remplissent tout l'espace, y compris le vide.
La théorie de Maxwell impose, pour tout système d'unités, une relation entre les constantes A (loi de Coulomb) et k (force de Laplace):
A/k = c2
c étant la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide.
Le travail expérimental de Kohlrausch et la réflexion de Maxwell, a priori limités à la question des unités, ouvraient des perspectives inattendues dans le domaine théorique.
Unifier les deux systèmes : le système Giorgi
Pour unifier les deux systèmes d'unités électriques, Giovanni Giorgi propose en 1901 un nouveau système qui présente divers avantages. Tout d'abord Giorgi montre qu'en ajoutant aux trois grandeurs fondamentales de la mécanique (masse, longueur, et temps) une quatrième grandeur fondamentale issue de l'électricité, on obtient un nouveau système qui est "cohérent" (toutes les unités dérivent des unités fondamentales sans coefficient autre que 1) contrairement aux systèmes électrostatique et électromagnétique.
Nous avons vu que les choix conventionnels A = 1, bien commode pour l'électrostatique, ou k = 1, bien commode pour le magnétisme, mènent à deux systèmes incompatibles. Giorgi introduit, dans la formulation des lois qui sont à la base de son système, des constantes qui ont une dimension physique, c'est-à-dire qui ne sont pas de simples nombres sans dimension comme ½ ou π. Il montre qu'en prenant A = 1/(4πε 0) et k = μ0/4π, on élimine le facteur 4π dans les équations de Maxwell et dans de nombreuses formules usuelles en électricité. D'autres choix étaient possibles, mais celui-ci assure la symétrie entre électricité et magnétisme.
Les grandeurs ε0 et μ0 ont une dimension physique : ε0 définit la "capacité du vide à être chargé d'énergie électrique" (la "permittivité") et μ0 sa capacité à être chargé d'énergie magnétique (la "perméabilité").
La loi de Coulomb devient : F = (1/4πε0) qq'/r2
et la loi d'Ampère : F = (μ0/4π) II' dldl'/r2.
De la relation A/k = c2 découle alors :
ε0 μ0 c2 = 1
Il reste encore un choix arbitraire à faire pour déterminer complètement le système d'unités. Ce choix, fait après de nombreuses discussions au sein de commissions internationales, fut de prendre :
μ0 = 4π 10-7 m.kg.s-2.A-2 (unité du système MKSA).
L'ampère, qui avait été choisi comme quatrième unité fondamentale plutôt que l'ohm, est alors défini comme étant :
"l'intensité d'un courant constant qui, maintenu dans deux conducteurs parallèles, rectilignes, de longueur infinie, de section circulaire négligeable et placés à une distance de 1 mètre l'un de l'autre dans le vide, produit entre ces conducteurs une force de 2.10-7 newton par mètre de longueur."
De longs échanges, souvent passionnés, entre physiciens et ingénieurs, ont conduit à accepter le système de Giorgi, plus d'un demi-siècle après sa présentation.
Electrostatique et électromagnétisme parlent dès lors le même langage.
Sources :
MAXWELL, James Clerk. Traité d'électricité et de magnétisme t.I.et t.II Traduction de la deuxième édition anglaise par A. Sélimann-Lui. Paris : Gauthier-Villars, 1885.
THOMSON (Lord KELVIN), William. Conférences scientifiques et allocutions. Traduites et annotées sur la deuxième édition par P. Lugol. Paris : Gauthier-Villars et Fils, 1893
G. BRUHAT. Cours de Physique Générale, Electricité, huitième édition revue par G. Goudet. Paris : Masson et Cie, 1967.