Les calculs de Coulomb sur la distribution de l'électricité à la surface des conducteurs

Le premier exemple abordé par Coulomb [Voir 1^er extrait du 5^ème Mémoire] est typique des raisonnements qu'il va mettre en oeuvre tout au long des deux mémoires. Il s'agit de déterminer la répartition des charges entre trois globes conducteurs (C), (c) et (C') en contact, selon la disposition illustrée ci-contre, l'ensemble étant supposé isolé.

Comprimé vers les points A et A' : les mesures précédentes, dans le cas de deux globes en contact, ont montré que la densité électrique s'annule au point de contact et qu'elle est maximale aux points les plus éloignés. Le caractère non uniforme de la distribution de l'électricité ne fait donc aucun doute.

Des approximations audacieuses : 

Il s'agit pour Coulomb de déterminer non le détail de cette distribution mais seulement la façon dont la charge totale se divise entre les trois globes. Dans ce but il fait une approximation audacieuse, en contradiction avec sa première remarque :

Ne puisse s'échapper que par le point de contact : l'air et les supports étant supposés parfaitement isolants, la charge électrique d'un globe ne peut être transférée que par contact avec le globe voisin.

Il devra y avoir un rapport [entre les densités...] tel qu'il y ait équilibre : par "densité des globes", nous devons comprendre la valeur moyenne, pour chacun de ces globes, de la densité surfacique de charge.
"Equilibre" : si les charges sont en équilibre sur les globes, les forces qu'elles subissent se compensent.
Equilibre des actions sur le point de contact : c'est la clé du calcul qui va suivre. Lorsque Coulomb parle des "actions" sur un "point" tel que B, il nous faut traduire : actions électriques subies par la couche électrisée infinitésimale commune aux sphères (C) et (c) en B. Rappelons cependant que l'expérience indique, contrairement au modèle provisoire sur lequel on raisonne ici, une densité électrique nulle en B ! Mais surtout, qu'entend Coulomb par "actions" ?

Qu'est-ce que les "actions électriques" ? Comment les calculer ?

Nous pouvons comprendre ce qu'entend Coulomb par "actions électriques", notion dont il ne donne pas de définition, à partir des expressions qu'il en propose aussitôt. Nommant D et δ les densités électriques respectives des globes (C) et (c), R et r leurs rayons, Coulomb affirme de but en blanc :

L'équilibre : Les sphères portent toutes trois des charges de même signe. Toute charge située au point B, subit donc une action répulsive dirigée vers la droite de la part de toutes les autres charges de (C), et des "actions contraires ", dirigées vers la gauche, de la part des deux autres globes. Puisque l'électricité est en équilibre au point B, ces actions doivent se compenser.

Les actions et leurs expressions mathématiques : dans son 2^ème Mémoire, Coulomb avait étendu à l'électricité un théorème de Newton, bien connu pour la gravitation :

Il sait bien que ceci n'est vrai que pour une répartition uniforme de l'électricité, mais c'est précisément la supposition qu'il vient de faire dans son approximation. On peut d'ailleurs penser que c'est pour pouvoir appliquer ce théorème qu'il fait cette approximation, étonnante au premier abord.

Le point B est extérieur au globe (C') mais il appartient à la surface même des globes (C) et (c). Puisque le théorème s'applique à un point extérieur à la sphère agissante, intéressons-nous d'abord à l'expression donnée par Coulomb pour l'action du globe (C'), bien que ce soit la moins simple des trois.

Calcul moderne de la force exercée par la sphère (C') sur une charge placée au point B : 
D'après la "loi de Coulomb", telle qu'elle s'exprime aujourd'hui dans les manuels scolaires, la force qui s'exerce entre deux charges Q et q ponctuelles, situées à la distance d, est : 
F = k Qq/d² où k est un coefficient qui dépend du système d'unités.
La sphère (C') de rayon R, étant uniformément chargée avec une densité de charge D, sa charge répartie sur la surface 4πR² de la sphère, est : Q = D 4πR²
Le point B est situé à la distance R + 2r du centre de (C').
La force F s'exerçant sur une charge q située au point B est donc : 
F = k D 4πR² q / (R + 2r)²
On en déduit la valeur du champ électrique au point B : 4πk DR² / (R + 2r)²

Si l'on compare cette expression de Coulomb avec les expressions modernes de la force F et du champ E, il apparaît donc que "l' action électrique" 2DR²/(R+2r)² de Coulomb n'est autre que le champ électrique créé par (C') en B, au facteur de proportionnalité 2πk près. Dans le mémoire suivant, Coulomb appellera "action électrique" non plus le champ mais la force électrique. Il ne faut pas voir là une inconséquence. Suivant l'usage de l'époque, Coulomb raisonne dans chaque cas au plus simple, de manière proportionnelle. Mais cette définition fluctuante de "l'action électrique" rend la lecture des mémoires de Coulomb difficile pour un lecteur contemporain.

Un mystérieux facteur 2

Passons maintenant à ce que Coulomb appelle les actions de (C) et (c) sur leur point de contact B. Ces actions sont celles d'une sphère électrisée sur un élément appartenant à la sphère, et non sur une charge extérieure. Coulomb n'explique pas comment il parvient à ses résultats apparemment si simples : action = D ou δ.

Si l'action électrique désigne, en termes modernes, le champ, et si l'on s'en tient à ce qu'écrit Coulomb, il s'agit de calculer le champ créé par une couche sphérique uniforme en un de ses points. Or ce champ, en toute rigueur, n'est pas défini. Il faut prendre quelques précautions supplémentaires dans la traduction du raisonnement implicite de Coulomb. Nous avons déjà précisé plus haut qu'il fallait entendre par "actions sur le point B" les actions subies par une petite couche électrisée infinitésimale, centrée sur B. Considérons alors le champ créé en B par la couche sphérique moins une calotte sphérique élémentaire de sommet B, que l'on peut rendre arbitrairement petite. Un calcul simple d'intégration à partir de la loi de Coulomb conduit à un résultat qui tend
- pour (C), vers E₁ = 2πk D,
- et de même, pour (c) , vers E'₁ = 2πk δ.
En omettant le facteur de proportionnalité 2πk, on retrouve bien les valeurs de Coulomb : D et δ.

On a vu plus haut que le champ créé par une sphère de rayon R en un point extérieur situé à distance 2r de sa surface était
E = 4πk DR² / (R + 2r)² , soit, si r tend vers zéro E = 4πk D.
On obtient donc E = 2E₁.
Le champ créé par une sphère, moins une calotte sphérique élémentaire de sommet B, au point B appartenant à sa surface est la moitié de celui qu'elle crée en un point extérieur infiniment voisin.

Ce résultat, qui est loin d'être intuitif, est en général démontré aujourd'hui par un autre raisonnement. Il consiste à découper la sphère en deux parties : une surface ΔS circulaire infiniment petite, centrée sur le point B, et d'autre part "le reste de la sphère".

Un calcul d'intégration simple, présent dans tous les manuels d'électrostatique, montre que le champ E₂ en un point M très voisin d'un disque plan ΔS uniformément électrisé, avec une densité D, est
E₂ = 2πk D.

Or le champ E créé par la sphère en M est la somme du champ E₂ créé par l'élément ΔS et du champ E₁ créé par le reste de la sphère. En M et donc en B (BM est un infiniment petit du second ordre),
E₁ = E - E₂ = 2πk D.

C'est bien la valeur que donnait l'intégration directe sur l'ensemble de la sphère.

Dans les exposés modernes d'électrostatique, le système international d'unités impose k = 1/4πε₀
- le champ électrique créé par une portion de surface de densité électrique σ en un point M infiniment proche est E = σ/2ε₀. Cela correspond à la valeur D de l'action électrique de Coulomb.
- le champ électrique E au voisinage immédiat d'un conducteur (C), c'est-à-dire en un point extérieur M infiniment proche de la surface de (C), est E = σ/ε₀. qui correspond bien à la valeur 2D de Coulomb. Ce résultat, établi ici pour un conducteur sphérique uniformément chargé, peut être généralisé à tout conducteur, quelle que soit la répartition des charges, σ étant alors la densité électrique de la petite portion de surface voisine de M. Sous cette forme généralisée, c'est ce que les traités d'électrostatique nomment "théorème de Coulomb" bien que la démonstration qui en est donnée dérive en général d'un théorème dû à Gauss. Coulomb en donne bien lui-même une démonstration, mais seulement, comme on va le voir plus loin, à la fin du Mémoire suivant (6^ème).

Les résultats du calcul

Après cette longue discussion, il nous reste à voir quels sont les résultats numériques obtenus par Coulomb à partir de l'équation
D = δ + 2DR²/(R+2r)² qui traduit l'équilibre électrique au point B. Coulomb remarque d'abord que si le rapport r/R est inférieur à 1/5, cette équation donne pour δ un signe opposé à celui de D. Or les trois sphères portent toujours des charges de même signe. Cette contradiction résulte bien sûr de l'approximation grossière faite au départ sur le caractère uniforme de la distribution électrique sur les sphères. Coulomb montre alors qu'une correction tenant compte de la répartition non uniforme de l'électricité sur les sphères conduit à un résultat proche de celui de l'expérience.

Il s'agit de déterminer la variation de la densité électrique à la surface du petit globe (C') de rayon r, en contact avec le globe (C) de rayon R, en fonction de l'angle α. Pour cela, Coulomb imagine "un petit globule (m)" mis en contact avec le globe (C') dans la position définie par l'angle α. Le problème est de calculer la quantité d'électricité dont se chargerait ce globule. Coulomb considère en effet implicitement que la densité électrique acquise par (m) n'est autre que la densité superficielle locale de (C') pour l'angle α. Comme précédemment, il suppose dans un premier temps que les densités électriques sur chaque sphère sont uniformes, bien que l'objectif soit de calculer la variation de ces densités. Soit D la densité électrique moyenne de (C), D' celle de (C'), et δ celle de (m).